许多体系一旦跳过“临界点”，其状况将会产生不行逆的改动，并带来严重危害。“耐性”反映了体系防止状况改动或从非常态中快速康复的才能，它使体系能在毛病或扰动产生时调整其活动以坚持根本功用。在曩昔50年里，人们简直只重视低维体系耐性。跟着网络科学理论的开展，学者们逐步开端探究实在国际中杂乱的多维网络体系及其耐性。2022年，Physics Reports 宣布总述文章 Network Resilience 全面地回忆了网络耐性的研讨办法，及其在生态、生物、社会和基础设施等杂乱体系中的运用，并展望了未来网络耐性研讨的方向与应战。本文是对该总述的基础理论和办法的简介。

  日子中难以预知的扰动无处不在，小到个人的伤风发烧或心情丢失，大到基础设施瘫痪或物种灭绝。考虑到扰动带来的负面结果，人们越来越重视体系应对扰动的耐性（resilience）。resilience起源于拉丁语中的 resiliere 或 resilio，别离标明“反弹”或 “回弹”[1]，所以耐性又被称为弹性、康复力等。耐性在生态、金融、交通等多个范畴有着广泛运用，能够了解为体系在面临扰动事情时的反响，或体系调整其行为活动以坚持根本功用的才能。虽然不同学科范畴中的耐性重视点不尽相同，但各范畴专业技扬长避短一起推进着耐性研讨的前进。

  因为体系面临扰动反响的多样性和杂乱性，现在仍未有耐性的一致界说。回忆过往研讨里70多种耐性界说[2]，大多数界说都环绕以下三类耐性：（1）体系耐性 (system resilience)，又称生态耐性，首要重视体系在不搬运到另一安稳状况状况下所能接受的最大扰动程度[3]。（2）工程耐性 (engineering resilience) 要点重视扰动后的康复速率或时刻[4]。（3）适应性耐性 (adaptive resilience) 多用于描绘社会体系对意外和极点冲击的适应和改动才能[28]。

  在曩昔几十年里，因为短少大规模体系中的内涵动力学信息和高效的剖析东西，大多数研讨首要会集于低维体系或时刻序列数据的剖析[5,6,7]。如图2所示，在动力学模型中，耐性行为能够被描绘为非线性动力学方程：dx/dt=f(β, x)，其间f(β, x)标明体系动力学，β标明环境状况。

  图2. 一维体系的耐性。（A）当β＞βc（蓝色）时，体系只要一个稳态（stable fixed point），不然会呈现两个（或更多）稳态。（B）具有从活跃（蓝色）状况到负面（赤色）状况的一阶跃迁的耐性函数。（C）耐性函数在β＜βc时有安稳解，大于βc时无解。

  提取杂乱体系的耐性函数需求把握元素之间杂乱彼此效果的非线性动力学特征，而网络科学的呈现为描绘大规模实在体系中的结构供给了强有力的东西[8]。此外，海量数据和算法开展使得人们能够直接从历史数据辨认并猜测动态模型的精确办法[9,10]。在理论、数据和技能多方支持下，网络耐性 (network resilience) 作为剖析高维体系耐性的东西应运而生。

  1973年，Holling等人[11]将耐性界说为体系的持久性，及其吸收扰动和改动的才能。后来，耐性作为一个通用概念广泛运用于生物学[12]、社会科学[13]和工程学[14]中。体系耐性决议了体系是否能够忍受显着的扰动而不搬运到另一个安稳状况，衡量了体系吸收状况变量、驱动变量和参数改动并坚持不变的才能[15]。正如前文所介绍的，从生态学到工程学所运用的耐性传统数学处理办法为：用一维非线性动力学方程dx/dt=f(β, x)来近似杂乱体系的行为，捕捉耐性相关的要害状况改动。

  但是，实践国际中的体系是由许多元素经过杂乱的加权有向彼此效果联系组成的，而且受很多参数操控。因而它们的状况不能仅靠一维方程描绘，而是需求由网络办法的耦合非线性方程来捕捉体系元素之间的彼此效果联系，并提醒体系动力学和底层网络拓扑改动之间的杂乱彼此效果。因而 ，所得到的耐性函数是表征体系杂乱参数空间上的多维流形。若要将一维体系耐性拓宽到网络耐性，需求了解和回忆以下三方面内容：

  网络动力学描绘了网络目标的进化进程，例如一段时刻内的物种丰厚度怎么进化[16]、个别在流行病传达进程中的感染状况[17]等等。因为该进程充溢杂乱性和未知性，确认其方程办法与参数并不简略。与现有的很多网络静态结构建模研讨比较[18]，对大规模网络动态建模的研讨依然较少。下面回忆几个经典的大规模体系的动态模型。

  ➢ 体系或许表现出各种非线]，如振动、分散和分岔，这些动态模型触及不同的方程办法和参数。例如，网络化的Stuart–Landau (SL) 振动器体系[21]能够经过以下耦合的常微分方程 (ODEs) 来描绘：

  其间第一项W(xi(t))描绘xi的自我驱动 (self-dynamics)，第二项反映i和街坊个别的效果联系。长期以来，大规模网络的耐性猜测一向遭到网络内部杂乱效果的约束。虽然现在关于杂乱网络动力学的发现仍是一个严重应战，但运用上述办法来揣度网络动力学，有或许完成对大规模网络的动力学建模，然后构建网络耐性剖析的根本结构。

  动力体系的状况或许跟着外部条件改动而改动，且呼应一般是显着的。图3展现了不同类型的体系状况呼应曲线。当外部条件随时刻逐步改动时[24]，一些高耐性体系的状况或许会呈线A）。更常见且更杂乱的呼应联系对错线性的，跟着操控参数添加，呈现“从上至下”接连且过渡的相变（见图3B）。在线性和接连的非线性状况下，都只存在一个平衡状况。当操控参数康复到原先水平，体系也能够康复到之前的状况[25,26]。一些体系或许在特定的条件范围内“反响迟钝”，而在操控参数挨近某阈值时忽然呼应，在两个独立的状况之间表现出意想不到的状况搬运（见图3C）。以上三种类型的状况改动称为相变 (phase shift) 或稳态搬运 (regime shifts)。如图3D所示，一些特别体系也会在特定的操控参数范围内产生替换安稳状况 (alternative stable states) 或多稳态 (multiple stable states)[27]。

  相变在一切环境下均呈单一状况（虽然状况在阈值处或许产生改动）。替换安稳状况的存在意味着在相同环境下，至少在必定范围内能够呈现两种不同的稳态，其间经常呈现滞回相变 (hysteresis phase transition)。在替换安稳状况状况下，状况之间的改动表现为激烈的骤变，相变状况则表现为简略的质变。

  图3. 不同类型的体系状况呼应曲线。(A)体系的状况对环境改动做出线性呼应；(B)跟着环境参数的添加，从“上”到“下”的继续状况搬运；(C)两个彼此排挤的稳态之间产生忽然的状况搬运；(D)滞回体系中在多个要害阈值处产生多稳态间的状况搬运。

  体系中的替换安稳能够用图4中的“杯中小球”来标明 [28]。若用小球方位标明体系的实践状况，在没有外界干涉的状况下，小球总会向着更低的方位移动，并终究安稳在某个状况中。那怎么完成小球从一个安稳状况移动至另一个安稳状况呢？办法一是改动小球的方位（如左图），即对自身状况变量进行大规模扰动。办法二是改动小球所属的环境（如右图），即改动操控动力体系内部的彼此效果参数。

  当外部环境或操控参数超越某一临界点时，往往会带来灾难性且不行逆的结果。因而，精确猜测体系的忽然相变和临界点是网络耐性的重要主题之一。具有替换稳态的状况骤变一般与分岔 (bifurcation) 和骤变理论（catastrophe theory）有关[29,30]，如图3D所示。因为在相同的条件下很难收集到关于分岔的经历数据，从多个安稳状况中差异相变存在难度。走运的是，虽然需求有包括许多稳态搬运的大规模时刻序列，但现在已有多种办法能够用来揣度替换安稳状况是否触及稳态搬运[31,32,33]。

  当体系挨近但没有跳过临界点时，或许会产生动力学体系理论中的临界慢化现象[34]。该现象表现在越挨近临界点时，体系康复到原有状况的速率会变慢、继续时刻变长、康复才能变弱。因而，一个小扰动后的康复速率能够用来标明体系挨近分岔点的程度，临界慢化现象也被用作为临界点到来的前期预警[35]。经过体系地测验康复速率来评价临界慢化不适用于大多数实在体系，但简直一切的实在体系都遭到继续的天然扰动。当挨近分岔时，临界慢化现象在体系动力学中导致三种或许的预警信号：（1）从扰动中康复速率较慢；（2）自相关性添加（见图5）；（3）方差添加[35]。自相关性和方差是临界慢化的直接衡量，而且两者都估计在临界改动之前添加。

  图5. 在时刻序列中临界改动的前期预警信号。(A)生物量的时刻序列；(B)临界改动前动摇的振幅有所添加；(C)方差；(D)AR(1)模型参数估计。

  综上所述，杂乱网络一般以非线性和非单调的办法呼应外部扰动。因为替换安稳状况的存在，即便在相同的条件下，网络也或许显现出彻底不同的状况，这使得猜测稳态搬运或临界点极具应战性。比较走运的是，当体系挨近临界点时，临界慢化现象及相关目标能有用地预告临界点的到来。

  在曩昔的50年里，人们开发了许多剖析东西来研讨低维体系的耐性现象或猜测临界点，这些东西大多致力于低维动力学方程的平衡剖析。关于大规模网络，除了网络内部动力学改动莫测以外，缺少适宜的剖析东西也限制网络耐性精确猜测。

  关于完好网络，Gao等人[36]最近提出一个能将高维体系动力学映射为有用的一维体系动力学的通用结构，称为GBB降维理论 (GBB reduction theory)。该模型不仅能精确猜测体系对各种扰动的呼应，还能精确认位体系失掉耐性的临界点。这项关于杂乱网络遍及耐性形式的研讨提出了或许用于防止耐性失效的潜在干涉战略，以及能成功应对扰动的最佳耐性体系准则。

  图6. 多维体系中的网络耐性。(A)-(C)中三维图显现了四个节点体系的耐性平面；(D)选用[36]中GBB理论后，(A)-(C)中的多维流形降维成一维耐性函数。研讨标明，经过将多维体系映射到β空间，能够精确猜测体系的各种扰动和临界点。

  此外，怎么揣度不完好网络的耐性也是一个重要问题。Jiang等人[37]使用降维中的均匀场办法来学习网络中部分实在安稳状况，而不需求知道整个网络信息。大多数实在网络（首要是生物和生态网络）是不完好的，这种办法能够辅佐揣度网络实在的动力学特征。相同，Jiang等人[38]将均匀场理论和组合优化相结合，从观察到的不完好网络中揣度出拓扑学特征，如度。

  图7. 根据5个物种的彼此效果联系，猜测包括97个物种的生态网络稳态丰度[37]。

  除了网络层面的耐性现象之外，每个节点关于网络耐性的奉献又怎么呢？根据等价的一维模型，Zhang等人[39]提出“耐性中心性” (resilience centrality) 来量化节点对体系耐性的影响才能。耐性中心性首要由节点的度和加权最近邻度决议，该目标能协助人们规划出有用的实在网络维护战略（如互利网络和基础设施体系）。

  安稳性 (stability) 和鲁棒性 (robustness) 都与耐性密切相关，它们一般用于剖析体系在不断改动的条件下怎么呼应，有时很难差异[40]。简略来说，耐性是体系的持久性特点，安稳性标明一个别系在遭到暂时扰动后返回到一个特定稳态的才能，这两个概念都是在网络动力学的布景下界说的[36,3]。鲁棒性的概念一般与网络静态结构有关，它衡量的是当网络的一部分节点或边失效时，网络坚持连通的才能[41]。

  ➢ 安稳性：stability一词来自拉丁语stabilis，意为坚决或可靠。安稳性首要运用于生态学中[46]，标明遭到扰动的状况下体系坚持生态功用和康复到初始平衡状况的才能[43]。例如，关于具有替换安稳状况的体系，安稳性取决于替换安稳状况的数量——或许的安稳状况越少，体系越安稳。“耐性”会集在招引域的鸿沟上，而 安稳性 则会集在平衡状况上。一方面，一个别系能够对错常有耐性的，但存在有很大的动摇，即安稳性低。另一方面，一个安稳的体系或许具有低耐性。

  ➢ 鲁棒性：robustness来源于拉丁语 quercus robur，在古代国际是力气与长命的标志。一个别系的鲁棒性是指体系在不损失功用的状况下接受毛病和扰动的才能。例如，生物学家将鲁棒性界说为生物体系在不行猜测的扰动下仍能坚持特定功用的才能[44]；在网络科学中，鲁棒性衡量其在一部分节点或边被损坏时坚持衔接的才能[45] ；在数学上，网络的鲁棒性被建模为一个反向渗流进程[46]。

  耐性是描绘体系遭到扰动并坚持其根本功用的才能，广泛运用于生物、社会、工程等多个学科范畴。该总述介绍了低维体系耐性到多维网络耐性的演化，并根据大规模网络的理论东西和先进的数据剖析技能，要点讨论了如相变 (phase shift)、稳态改动(regime shifts)等便于了解网络耐性的中心主题。一起，文章剖析了体系“安稳性”、“鲁棒性”和“耐性”三个常见特点的差异与相关，有利于进一步加深对网络耐性及其动力学的了解。

  原标题：《Physics Reports重磅总述：网络耐性及中心研讨主题》